Условия и решения Азиатско-Тихоокеанской олимпиады по математике 2017

Задача 1. Последовательность из пяти целых чисел назовем выстраиваемой,
если эти числа можно взять в каком-то порядке и обозначить a, b, c, d, e так, чтобы
выполнялось равенство a-b+c-d+e=29. Найдите все последовательности из 2017 целых чисел n_1,n_2,\ldots,n_{2017}, удовлетворяющие условию: если такую последовательность выписать по кругу по часовой стрелке, то любые пять стоящих подряд чисел будут образовывать выстраиваемую последовательность.

Задача 2. Пусть дан треугольник ABC, в котором AB < AC.
Пусть D — точка пересечения биссектрисы угла BAC с описанной окружностью треугольника ABC.
Пусть Z — точка пересечения серединного перпендикуляра к AC с внешней биссектрисой угла BAC.
Докажите, то середина отрезка AB лежит на описанной окружности треугольника ADZ.

Задача 3. Пусть A(n) равно количеству последовательностей натуральных чисел
a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_k, для
которых a_1+\ldots+a_k=n и a_i+1 равно степени двойки для каждого i=1,2,\ldots,k.
Пусть B(n) равно количеству последовательностей натуральных чисел b_1\geq b_2\geq \ldots \geq b_m,
для которых b_1+\ldots+b_m=n и неравенство b_j\geq 2b_{j+1} выполнено для каждого j=1,2,\ldots,m-1.

Докажите, что A(n)=B(n) для всех натуральных n.

Задача 4. Назовем рациональное число rстепенным, если r может быть представлено в виде \frac{p^k}{q}
для некоторых взаимно простых натуральных чисел p,q и некоторого целого k > 1.
Пусть a,b,c — положительные рациональные числа такие, что abc=1.
Известно, что существуют натуральные числа x,y,z такие, что число a^x+b^y+c^z целое. Докажите, что числа a,b,c степенные.

Задача 5. Пусть n — натуральное число. Пару n-ок целых чисел (a_1,\ldots,a_n) и (b_1,\ldots,b_n)
назовем исключительной, если

    \[|a_1b_1+\cdots+a_nb_n|\leq 1.\]


Найдите наибольшее возможное количество попарно различных n-ок целых чисел,
любые две из которых образуют исключительную пару.

Решения задач доступны в формате pdf.

Оставьте свой комментарий

Ваша почта не будет указана