Задачи и результаты Юниорской Балканской олимпиады 2017

21 Юниорская Балканская олимпиада (24 июня — 29 июня) подходит к концу. Команда Казахстана поделила седьмое место с командой Саудовской Аравии, с чем мы и поздравляем нас! Ниже мы приводим условия задач и результаты нашей команды:

Задача 1. Найдите все множества 6 последовательных натуральных чисел такие что сумма произведений двух пар различных чисел из этого множества равна произведению оставшихся двух.

Задача 2. Пусть x, y, z попарно неравные натуральные числа. Докажите, что для них выполнено неравенство: (x+y+z)(xy+xy+yz-2) \geq 9xyzКогда достигается равенство?

Задача 3. Пусть ABC остроугольный треугольник (AB \neq BC). Пусть O центр описанной окружности \Gamma треугольника ABC и M — середина стороны BC. Точка D лежит на \Gamma так, что AD \bot BC. Пусть T такая точка, что BDCT — параллелограм и Q такая точка, что она лежит по ту же сторону что и точка A относительно BC и для нее выполнены равенства: \angle BQM=\angle BCA, \angle CQM=\angle CBA. Пусть прямая AO пересекает \Gamma в точке E (E \neq A) и пусть описанная окружность треугольника ETQ пересекает \Gamma в точке X\neqE. Докажите, что точки A, M и X лежат на одной прямой.

Задача 4. Рассмотрим правильный 2n-угольник P: A_{1}A_{2} \dots A_{2n} на плоскости, где n — натуральное число. Будем говорить, что точка S лежащая на одной из сторон P может быть увиденной из точки E, лежащей вне P, если отрезок SE не содержит других точек лежащих на P кроме S. Окрасим все точки на сторонах P кроме вершин в три цвета ( вершины P остаются бесцветными) так, что каждая сторона окрашена в один цвет и каждый цвет использован хотя бы раз. Более того, из каждой точки вне P могут быть увидены точки на сторонах P двух или более цветов. Найдите всевозможное количество таких раскрасок P (Две раскраски многоугольников считаются разными, если хотя бы одна из сторон окрашена иначе).

 

Результаты нашей команды: 

NameCodeP1P2P3P4SUMMedal
Duisenbekov DanatKAZ361010127SILVER
Shayakhmetov YerarslanKAZ61095126SILVER
Zimanov AlihanKAZ210110223SILVER
Shyntas NurtasKAZ431010023SILVER
Sabyrbek AruzhanKAZ1325010BRONZE
Amrin AidarKAZ550005

Оставьте свой комментарий

Ваша почта не будет указана